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如图在直角梯形ABCD中,AD=3,AB=4,BC=分析

好文100网 2019-10-30 09:26:57 手机版

 如图在直角梯形ABCD中,AD=3,AB=4,BC=

 
 
3
,曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.

(1)建立适当的坐标系,求曲线DE的方程;
(2)过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦,求出弦所在直线的方程.
魔方格
(1)以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,
则A(-2,0),B(2,0),C(2,
 
 
3
),D(-2,3).
依题意,曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分.
∵a=
1
2
(|AD|+|BD|)=4,c=2,b2
=12,
∴所求方程为
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4,0≤y≤2
 
 
3
)

(2)设直线方程y-
 
 
3
=k(x-2),即y=k(x-2)+
 
 
3
,将其代入
x2
16
+
y2
12
=1
(3+4k2)x2+(8
 
 
3
k-16k2)x+16k2-16
 
 
3
k-36=0
设弦的端点为M(x1,y1),N(x2,y2),则由
x1+x2
2
=2,知x1+x2=4,
∴-
8
 
 
3
k-16k2
3+4k2
=4,解得k=-
 
 
3
2

∴弦MN所在直线方程为y=-
 
 
3
2
x+2
 
 
3
,验证得知,这时M(0,2
 
 
3
),N(4,0)
适合条件.
故这样的直线存在,其方程为y=-
 
 
3
2
x+2
 
 
3
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